Giorno Data Ora inizio Ora Fine Ore Titolo Argomenti Ore Facoltative
Lunedì 19/02/2024 11:30 13:30 0   Lezione non utilizzata
Martedì 20/02/2024 10:30 13:30 3 Introduzione e Concetto di segnale Introduzione al corso e obiettivi.
Concetto di Segnale. Segnali certi e aleatori: esempi (ECG, sismografo, voce).
Segnali Continui, Discreti e Quantizzati.
Cenni ai segnali bidimensionali e tridimensionali.
Segnali di Energia, valore medio di un segnale, potenza media. Segnali di potenza.
Segnali complessi: rappresentazione in parte reale e immaginaria, modulo e fase.
Operazioni con i segnali complessi: somma, prodotto, rapporto.
Energia e Potenza dei segnali complessi.
ESERCIZI di calcolo Energia-Potenza: segnale rettangolare, segnale costante, gradino unitario, gradino unitario ribaltato.
ESERCIZIO: calcolo della energia/potenza di un segnale esponenziale negativo unilatero.
Somma di segnali ed energia/potenza della somma: introduzione al concetto di prodotto scalare e ortogonalità dei segnali.
Giovedì 22/02/2024 08:30 11:30 3 Segnali sinusoidali e Sviulppo in serie di Fourier Segnali periodici.
Potenza e valor medio dei segnali periodici.
Segnali sinusoidali: rappresentazione grafica, periodo e frequenza, ritardo associato alla fase.
ESERCIZIO: calcolo della energia/potenza di un segnale sinusoidale.
Concetto di fasore, e rappresentazione nel dominio (bilatero) della frequenza.
Spettro associato a una sinusoide (Modulo e Fase)
Somma di segnali periodici e condizione di periodicità.
Segnali sinusoidali armonici.
Introduzione allo sviluppo in serie di Fourier: combinazione lineare di funzioni sinusoidali armoniche.
Sviluppo in serie di Fourier.
Spettro a righe di un segnale periodico: Modulo e Fase, Parte reale e Immaginaria.
Formule di Eulero e notazioni equivalenti dello sviluppo in serie di Fourier:
Osservazione su segnali pari, dispari, reali e complessi.
Rappresentazione di un segnale periodico come somma della sua parte pari e della sua parte dispari.
Calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier: la serie di Fourier come un prodotto scalare.
Proprietà di ortogonalità delle basi dello sviluppo in serie di Fourier.
Lunedì 26/02/2024 11:30 13:30 0   Lezione non utilizzata  2
Martedì 27/02/2024 10:30 13:30 3 Serie di Fourier Riepilogo sullo sviluppo in serie di Fourier e notazioni equivalenti.
Osservazione su segnali pari, dispari, reali e complessi.
Calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier: verifica diretta per sostituzione.
Potenza di un segnale periodico, legame con i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier, e conseguenze dell'ortogonalità.
Spettro di densità di potenza di un segnale periodico.
Convergenza della serie di Fourier e criterio di Dirichelet.
Arresto a un termine N-esimo dello sviluppo: potenza del segnale errore, considerazioni sull'ortogonalità, e su convergenza puntuale e in media quadratica.
Cenni al fenomeno di Gibbs e contromisure.
ESERCIZIO: SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER di una successione di triangoli e considerazioni sullo spettro, la risoluzione spettrale al variare del periodo, la larghezza di banda al variare della durata dei triangoli.
Visualizzazione sviluppo in serie di Fourier e spettro associato tramite Matlab. 
Giovedì 29/02/2024 08:30 11:30 3 Trasformata Continua di Fourier- I Dallo sviluppo in serie di Fourier alla Trasformata Continua di Fourier (TCF) per segnali aperiodici: trasformata diretta.
Trasformate di Fourier di segnali reali: parte reale pari, immaginaria dispari, (modulo pari, fase dispari)
Trasformata INVERSA di Fourier come limite dello sviluppo in serie di Fourier, analogie, e cenni alla dualità dell'operatore.
ESERCIZIO: TCF di un segnale rettangolare e osservazione su durata temporale, occupazione spettrale, simmetria pari.
generalizzazione a TCF di segnali reale e pari e immaginari e dispari per analogia allo sviluppo in serie di Fourier.
Proprietà dell'AREA di un segnale e dell'area dello spettro.
Effetto del cambio di durata del rettangolo sullo spettro e la "banda" del segnale.
Successione di rettangoli a durata finita ed area costante: impulso matematico.
Dimostrazione matematica della TCF di un impulso matematico centrato in to = 0.
Richiami alla proprietà campionatrice dell'impulso matematico.
Cenni alla proprietà del cambiamento di SCALA tramite l'effetto sulla trasformata del "rect".
Condizioni sufficienti di esistenza (segnali impulsivi e di energia).
ESERCIZIO: TCF di una funzione esponenziale negativa unilatera x(t)=exp(-at)u(t).
Calcolo dello spettro, disegno di parte reale, immaginaria, modulo e fase.
Osservazione sulla componente pari e la componente dispari del segnale.
Proprietà TCF: DUALITA' (esempio: trasformata di x(t)= Asinc(pi*B*t)).
Proprietà della TCF: CAMBIAMENTO di SCALA (effetto sulla trasformata del rect), con dimostrazione.
Proprietà TCF: RIBALTAMENTO degli assi (caso particolare segnali reali), con dimostrazione.
Proprietà TCF: TRASLAZIONE TEMPORALE (con dimostrazione).
La traslazione temporale come primo esempio di FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (modulo costante e fase lineare): osservazione sul ritardo di un segnale e sullo stesso ritardo di tutte le sue componenti frequenziali: ciascuna sfasata in modo proporzionale alla propria frequenza.
Lunedì 04/03/2024 11:30 13:30 0   Lezione non utilizzata 2
Martedì 05/03/2024 10:30 13:30 3 Trasformata Continua di Fourier- II TCF di un impulso matematico traslato nel tempo (esponenziale in frequenza).
TCF di una costante (per dualità).
TCF di un esponenziale nel tempo (impulso matematico traslato frequenza) (per dualità).
TCF di x(t) = Ao*cos(2.pi.fo.t + q): modulo e fase dello spettro.
Casi particolari: Ao*cos(2.pi.fo.t), Ao*sin(2.pi.fo.t).
TCF di segnali PERIODICI e relazione con lo sviluppo in serie di Fourier.
Segnale gradino unitario: l'impulso matematico è la sua derivata.
Derivata di qualunque funzione discontinua.
Proprietà TCF: derivazione (iterativa) nel tempo.
Il derivatore come secondo esempio di FUNZIONE DI TRASFERIMENTO associata a un dispositivo lineare. Modulo e Fase della funzione di trasferimento.
METODO DELLA DERIVATA per calcolo TCF e osservazione sul valor medio di un segnale.
Proprietà della TCF: derivazione (iterativa) in frequenza e metodo della derivata per calcolo anti-TCF.
ESERCIZIO: TCF di un triangolo isoscele con metodo della derivata: osservazione sul legame con la trasformata del rettangolo.
Dualità: funziona segno in frequenza e filtro di Hilbert.
Proprietà di integrazione della TCF.
Giovedì 07/03/2024 08:30 11:30 3 Trasformata Continua di Fourier -III : proprietà ed esercizi ESERCIZIO: TCF di un gradino unitario con il metodo della derivata e legame con TCF della funzione segno(t).
Proprietà TCF: Y(f) = H(f)X(f) prodotto in frequenza e integrale di convoluzione nel tempo.
Convoluzione con un impulso nel tempo e in frequenza.
Rivisitazione del dispositivo di ritardo ideale.
Ulteriori cenni ai sistemi lineari e permanenti, tramite l'integrale di convoluzione.
Risposta all'impulso di un sistema e motivazione del perché descrive il comportamento del sistema lineare e permanente rispetto a qualunque ingresso.
Esempio: caso particolare X(f)=H(f)=T sinc(pi.T.f) e il triangolo come auto-convoluzione del rettangolo:
 1) Da trasformate notevoli già calcolate, passando in frequenza
 2) Dimostrazione attraverso calcolo della auto-convoluzione.
Generalizzazione alla convoluzione di due rettangoli di base diversa centrati nell'origine (da svolgere da soli aggiungendo un caso alla discussione precedete): trapezio con base maggiore pari alla somma delle durate dei triangoli e base minore pari alla differenza.
Dualità: Prodotto nel tempo e integrale di convoluzione in frequenza.
Proprietà TCF: integrale nel tempo.
 1) Relazioni con la proprietà di derivazione.
 2) Dimostrazione tramite integrale di convoluzione
TEOREMA di Plancharel-Parseval.
Considerazioni su prodotto scalare nel tempo e in frequenza (ortogonalità e separazione)
ESEMPIO: calcolo dell'energia incrociata di sinc(pi.B.t) e cos(20.pi.B.t)
Applicazione del Teorema di Plancharel-Parseval all' integrale di Correlazione (di energia):
correlazione incrociata di energia come TF inversa di X(f)Y(f)*.
Spettro di densità di energia incrociata.
Proprietà di simmetria coniugata della correlazione incrociata.
Calcolo dell'Energia di un segnale e Teorema di Parseval: concetto intuitivo di Spettro di Densità di Energia (SDE).
ESERCIZIO: spettro della modulazione di ampiezza y(t) = x(t)cos(2*pi*fo*t),  x(t) =rect_T(t).
Integrale di convoluzione con impulsi in frequenza.
Lunedì 11/03/2024 11:30 13:30 2 Teorema del campionamento ESERCIZIO: TCF di una successione di impulsi equi-ampiezza. 
ESERCIZIO: calcolo dello spettro di y(t)=x(t)c(t), con c(t) = successione di impulsi equi-ampiezza e x(t) = B.sinc^2(pi.B.t).
Espressione come replica dello spettro originale e come DTFT.
Generalizzazione a qualunque spettro X(f) a banda rigorosamente limitata in [-B,B].
Teorema del Campionamento e formula di ricostruzione: considerazioni sulla rappresentazione grafica della ricostruzione per interpolazione cardinale.
Ricostruzione a tenuta e per interpolazione lineare e associata distorsione in frequenza.
Cenni ai filtri di compensazione delle distorsioni nei convertitori analogico-digitali.
Aliasing di segnali a durata limitata: filtro anti aliasing.
Martedì 12/03/2024 10:30 13:30 3 Teorema del campionamento e Trasformate discrete di Fourier Riepilogo e osservazioni sul Teorema del campionamento:
a) Ortogonalità delle funzioni sinc(.) nella ricostruzione di un segnale e supporto limitato in banda.
(dimostrabile con teorema di Parseval)
b) Campione x(nTc) come prodotto scalare di x(t) con sinc(pi.Fc(t-n/Fc)) , per segnali limitati in banda.(dimostrazione dal Teorema di Parseval).
N.B. Se X(f) non è limitato in banda, il coefficiente ottimo è il campione del segnale in uscita al filtro anti-aliasing ideale.
c) Campionamento di una sinusoide: seno a fase nulla, coseno a fase nulla, fase generica. Analisi nel tempo e in frequenza.
d) Repliche spettrali e righe (impulsi) nel tempo: dualità con sviluppo in serie di Fourier di segnali periodici nel tempo.

La DTFT come normalizzazione della trasformata di Fourier del segnale campionato e generalizzazione alle sequenze qualunque.
Periodicità della DTFT e formula inversa dallo sviluppo in serie di Fourier nel dominio della frequenza.
Sequenze a durata finita e campionamento uniforme nel dominio della frequenza della DTFT: la DFT e la sua formula inversa come inversione di un sistema di equazioni lineari: rappresentazione matematica del sistema di equazioni della DFT con notazione matriciale.
Simmetria e ortogonalità delle righe della matrice della DFT, con dimostrazione.
DFT come proiezione su una base ortogonale e IDFT, sfruttando l'ortogonalità della rappresentazione matriciale e come prodotto scalare dello spettro X[k] sulla base ortogonale.
Analisi spettrale tramite DFT di un segnale tempo continuo a durata finita.
Calcolo e disegno del grafico con istruzione Matlab  plot(f,xf), costruzione del vettore"f" delle frequenze.
Cenni al fatto che la risoluzione spettrale (distanza delle righe dello spettro) non aumenta aumentando la frequenza di campionamento del segnale tempo-continuo da cui si è generata la sequenza. Cenni al fatto che si devono aggiungere (M-N) zeri e fare una DFT su M punti ).
Giovedì 14/03/2024 08:30 11:30 3 Integrali di correlazione di energia e potenza ed associate densità spettrali - ESERCIZI Prodotto scalare tra due segnali reciprocamente traslati come misura di similitudine.
Integrale di cross-correlazione di Energia: proprietà rispetto alla TCF ( già dimostrata dal teorema di Parseval)
Proprietà di simmetria coniugata, e relazione con l'integrale di convoluzione (dalla TCF),
Disuguaglianza di Schwartz e coefficiente di cross-correlazione.
Cross-correlazione massima in "to", pari al limite superiore di Schwartz, quando y(t) = Kx(t-to).   
Cenni all'utilizzo della cross-correlazione per stimare il ritardo tra due segnali, al suo utilizzo nei sistemi di trasmissione per sincronizzare, e all'analisi funzionale di diverse aree del cervello a partire dall'acquisizione di segnali elettrici associati alla su attività.
Osservazione che la correlazione non implica necessariamente l'esistenza di un nesso causale tra le grandezze o fenomeni associati ai due segnali. Esempio di due segnali "causati" da un terzo segnale secondo il modello matematico y_i(t)=k_i*x(t-t_i). Sono correlati perché causati da un terzo ma non esiste alcun legame di causa-effetto tra le due grandezze fisiche o fenomeni che essi descrivono.
Autocorrelazione di Segnali di Energia. Proprietà: pari per segnali reali, limitata, invariante alle traslazioni temporali.
Autocorrelazione di Segnali di Energia: trasformata di Fourier e spettro di densità di Energia.
Correlazione incrociata di Potenza: analogia con correlazione di Energia e relative proprietà.
Considerazioni sull'esistenza della trasformata di Fourier di autocorrelazioni di potenza.
Autocorrelazione di potenza di segnali periodici: periodica e si calcola in un periodo.
Spettro di densità di potenza di segnali periodici: relazione con periodicità del segnale e coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier.
Metodo di calcolo dell'autocorrelazione di potenza a partire dalla autocorrelazione di energia di una singola replica.
Lunedì 18/03/2024 11:30 13:30 2 Esercizi ed Esempi  ESERCIZIO: correlazione incrociata di energia di due rettangoli di stessa base e diversa traslazione. Relazioni con la auto-convoluzione.
GENERALIZZAZIONE: convoluzione e correlazione di segnali a durata limitata ed effetto delle traslazioni.
ESERCIZIO: Autocorrelazione e spettro di densità di potenza di una successione di rettangoli di periodo T e durata 3T/4
ESERCIZIO: Analisi dello spettro tramite DFT del segnale tempo continuo
x(t)= Acos(2.pi.fo.t) osservato in t =[0,T].
ESERCIZIO: spettro della modulazione di ampiezza y(t) = x(t)cos(2*pi*fo*t),  x(t) =rect_T(t).
1° metodo) Integrale di convoluzione con impulsi in frequenza
2° metodo) (già fatto) formule di Eulero e proprietà di traslazione.
Considerazione sull'andamento nel dominio del tempo e cenni al concetto di modulazione
Martedì 19/03/2024 10:30 13:30 3 Sistemi Lineari e non-lineari. Sistemi lineari e permanenti (filtri): risposta in frequenza, causalità,stabilità BIBO. Introduzione al transito dei segnali nei sistemi.
Cenni alla differenza tra Trasformazione di un Segnale e Sistema: concetto di stato, riposta libera e risposta forzata.
Sistemi lineari (L) e non lineari (NL).
Sistemi permanenti (P) e non permanenti (NP).
Sistemi con MEMORIA e ISTANTANEI.
ESEMPIO: trasformazione affine (NL-P), quadratore (NL-P), Guadagno Variabile (L-NP).
Sistemi CAUSALI (fisicamente realizzabili).
Risposta impulsiva. Integrale di convoluzione e sistemi lineari e permanenti (LP).
Supporto temporale dell'integrale di convoluzione per due segnali generici di durata finita.
Osservazione: i sistemi LP non introducono nuove frequenze.
CONTRO-ESEMPIO sistema NL-P: B.sinc(pi.B.t) in un quadratore introduce nuove frequenze.
CONTRO-ESEMPIO sistema L-NP: Coseno in amplificatore a guadagno variabile genera nuove frequenze.
Memoria e "predizione" dell'integrale di convoluzione: C.N.E.S. alla causalità per sistemi LP.
Giovedì 21/03/2024 08:30 11:30 3 Sistemi Lineari: stabilità BIBO, classificazione dei filtri, cascata e parallelo. Autosegnali di sistemi LP. Sistemi Stabili in senso B.I.B.O.: C.N.E.S. alla stabilità in senso BIBO per sistemi LP.
Cenni ai legami con la stabilità in teoria dei sistemi: esempio integratore ideale.
Classificazione dei sistemi LP come filtri: passa basso, passa-banda, passa-alto ideali.
Cenni ai filtri reali e concetti di banda passante, banda di transizione, banda di arresto, ripple in banda e attenuazione fuori banda. 
Sistemi LP in cascata e sistemi LP in parallelo: sistemi equivalenti.
OSSERVAZIONE sull' ipotesi di "separazione" (non perturbazione) tra i sistemi quando connessi.
Segnali esponenziali complessi in sistemi LP: concetto di auto-funzione di un sistema LP: analisi in frequenza, nel tempo e similitudine con auto-vettori di matrici.
Generalizzazione ai segnali sinusoidali: sfasamento e ritardo al variare della frequenza.
Segnali Periodici in sistemi LP: analisi nel tempo e analisi in frequenza (relazione con Sviluppo in Serie di Fourier).
Lunedì 25/03/2024 11:30 13:30 2 Trasformate di Laplace e Fourier. ESERCIZI VARI Analogie tra trasformata di Laplace (TL) e di Fourier (TF): la trasformata di Laplace come una superficie di trasformate di Fourier. ROC della TL. Esempio: risposta impulsiva a gradino ed esponenziale negativo.
Cenni allo sviluppo in frazioni parziali della TL con sistemi poli semplici e somma delle risposte impulsive esponenziali.
ESERCIZIO: il filtro a media mobile, la sua riposta impulsiva e quella in frequenza.
ESERCIZIO: funzione di trasferimento e risposta impulsiva di un sistema a semplice retroazione negativa (con ritardo): considerazioni sulla stabilità, grafico del modulo della funzione di trasferimento.
ESERCIZIO: calcolare lo spettro di un segnale modulato in ampiezza su portante "fo" e poi campionato, con Fc= fo/k. Analogo risultato con demodulazione diretta.
ESERCIZIO: Trasformata di Fourier di un trapezio isoscele: come differenza di triangoli, con il metodo della derivata, e come trasformata della convoluzione di due rettangoli. 
Martedì 26/03/2024 10:30 13:30 3 Teoremi di Wiener-Kintchin: spettro di Densità di Energia e Potenza Autocorrelazioni e correlazione incrociata di energia tra ingresso e uscita di un sistema lineare e permanente. Spettro di densità di Energia e Teorema di Wiener-Kintchin (con dimostrazione).
Spettro di densità di Potenza: definizione e Teorema di Wiener-Kintchin per segnali di potenza (Dimostrazione accennata).
Autocorrelazioni e correlazione incrociata di energia/potenza, tra ingresso e uscita di un sistema lineare e permanente.
Spettro di densità di Energia/Potenza in ingresso e uscita a sistema LP.
ESEMPIO: integratore ideale con ingresso rect(t): ingresso di energia, uscita di potenza.  Calcolo di correlazione incrociata ingresso - uscita di energia
Inversione di ingresso e risposta impulsiva e calcolo correlazione incrociata ingresso-uscita.
ESEMPIO INVERSO: rampa con saturazione in ingresso a un derivatore. Metodo di calcolo correlazione incrociata come derivata della auto-correlazione.
Giovedì 28/03/2024 08:30 11:30 0   Vacanze Paquali
Lunedì 01/04/2024 11:30 13:30 0   Vacanze Paquali
Martedì 02/04/2024 10:30 13:30 0   Vacanze Paquali
Giovedì 04/04/2024 08:30 11:30 3 ESERCIZI VARI ESERCIZIO: Autocorrelazione di Energia in uscita a un derivatore con ingresso x(t) = A*rect_T(t) (Svolgimento con 2 metodi diversi).
OSSERVAZIONE: Il segnale di uscita non è di Energia, ma l'autocorrelazione di Energia esiste (in senso generalizzato)
Autocorrelazione di potenza di un treno di impulsi equi-ampiezza e Spettro di densità di Potenza.
Segnali periodici come uscita di un filtro con ingresso un treno di impulsi e relazioni con la autocorrelazione.
ESERCIZIO: x(t)=B sinc^2(pi.B.t) passa in filtro con h(t)=sinc(pi.B.t), calcolare correlazione incrociata ingresso-uscita.
ESEMPIO: Filtro RC (Funzione di trasferimento, Modulo e Fase, Frequenza di taglio.)
Analisi del comportamento da integratore (passa basso) o passa tutto in funzione dello spettro dell'ingresso. Risposta impulsiva del Filtro RC, e analisi comportamento da integratore o passa tutto in funzione della costante di tempo nel dominio del tempo.
ESERCIZIO: carica e scarica filtro RC come integrale di convoluzione con segnale rettangolare. 
Lunedì 08/04/2024 11:30 13:30 2 Dal Teorema del Campionamento alla DTFT e DFT: proprietà fondamentali. - Sistemi lineari e permanenti tempo-discreti e relazione con DFT e DTFT.  Richiami su teorema el campionamento e DTFT dalla trasformata di Fourier del segnale campionato.
Periodicità e formula inversa della DTFT dallo sviluppo in serie di Fourier nel dominio della frequenza.
Proprietà di traslazione temporale discreta.
Prodotto di sequenze e convoluzione circolare della DTFT.
Energia e Potenza di sequenze.
Sistemi lineari e permanenti tempo discreti, delta di Kronecker e risposta impulsiva.
Uscita di sistemi LP tempo-discreti, convoluzione tempo discreta e prodotto della DTFT.
DTFT di ingresso e uscita e funzione di trasferimento H(F).
Martedì 09/04/2024 10:30 13:30 3 DFT: proprietà,  risoluzione spettrale,  convoluzione circolare, Sequenze a durata finita e campionamento della DTFT: la DFT.
La DFT come prodotto scalare e sua periodicità.
La IDFT come sviluppo di un segnale su una base ortogonale.
Risoluzione spettrale come inverso della durata temporale.
Ortogonalità, periodicità, e unicità delle N frequenze discrete di periodo N.
Rappresentazione matriciale della DFT e IDFT matriciale.
Stima spettrale di un segnale continuo a durata limitata tramite DFT.
Richiami su risoluzione spettrale come inverso della durata temporale.
Aumento della risoluzione spettrale con ZERO padding.
Duale nel dominio della Frequenza e sovra-campionamento nel tempo.
Sovra-campionamento per interpolazione cardinale.
Giovedì 11/04/2024 08:30 11:30 3 DTFT: spettro di sequenze periodiche e I-DTFT Properietà della  DTFT
X[k]H[k] di lunghezza N in frequenza, corrisponde una convoluzione CIRCOLARE nel tempo di h[n] e x[n] di lunghezza N.
Osservazione su DFT di ingresso e uscita di un sistema lineare e permanente per sequenze a lunghezza finita:  prodotto delle DFT se definite sul numero di campioni dell'uscita (zero-padding di h[n] e x[n].).
La convoluzione circolare coincide con la convoluzione lineare se si fa ZERO-PADDING !!
DTFT di una sequenza esponenziale complessa discreta: impulso (periodico in frequenza). Dimostrazione a partire dalla IDTFT.
OSSERVAZIONE: qualunque sequenze periodica è rappresentabile come IDFT ==>  DTFT e spettro a righe di sequenze periodiche.
Lunedì 15/04/2024 11:30 13:30 2 Trasformata Zeta: proprietà e analisi di sistemi tempo-discreti Trasformata Zeta (TZ) bilatera: regioni di convergenza e relazioni con DTFT.
Analogia con Trasformata di Laplace e Trasformata di Fourier di segnali tempo continui.
Legame tra trasformata Zeta e di Laplace della sequenza ottenuta per campionamento.
Trasformazione conforme z = exp(sTc).
Anti-trasformata Zeta.
Sistemi LP tempo discreti: convoluzione discreta e prodotto delle funzioni di trasferimento (DTFT e TZ), dimostrazione per TZ.
Sistemi LP tempo-discreti causali e condizione su risposta impulsiva.
Sistemi LP tempo-discreti stabili in senso BIBO: sommabilità in modulo risp. impulso e relazione con ROC della H(z).
Posizione dei poli di sistemi LP causali e stabili e analogia con TL di sistemi LP tempo continui.
Definizione di sistema FIR e IIR. Implementazione di un sistema FIR attraverso ritardi.
Martedì 16/04/2024 10:30 13:30 3 Progetto di filtri numerici da filtri analogici: tecniche di trasformazione da Laplace a Zeta. TZ di un esponenziale unilatero, ROC e polo: condizioni di stabilità per il sistema associato. Implementazione come sistema a singola retroazione (feed-back).
Relazione con equivalente sistema tempo continuo retro-azionato, tramite campionamento della risposta impulsiva.
Funzione di trasferimento (DTFT) e natura passa-basso nel periodo fondamentale [-1/2, 1/2] in F.
Progetto di filtri numerici equivalenti a quelli analogici: teorema dell'invarianza della risposta impulsiva: attenzione all'aliasing !  Relazione tra H(s) e H(z) e mappaggio z = e^(sTc): poli stabili e instabili in (s) e (z).
Trasformazione da frazioni parziali in Laplace a frazioni parziali in Zeta attraverso invarianza della risposta impulsiva: attenzione all'introduzione di zeri simmetrici ai poli nel dominio discreto.

Cenni al metodo della trasformata bilineare come trasformazione alternativa dal piano di Laplace a quello Zeta, che non soffre di aliasing ma distorce la funzione di trasferimento.

Notazione matriciale associata a convoluzione lineare e circolare.
Diagonalizzare matrici circolanti tramite matrice di DFT: concetto di autovalore e auto-vettore di un filtro circolante e analogia con i sistemi tempo-continui.
Osservazione sulla diagonalizzazione di matrici circolanti tramite matrice di DFT:  concetto di autovalore e auto-vettore di un filtro circolante e analogia con i sistemi tempo-continui.
Giovedì 18/04/2024 08:30 11:30 3 Ripasso di Teoria della Probabilità: variabili aleatorie. RICHIAMI SU: variabili aleatorie continue e discrete (definizione, funz. di distribuzione, d.d.probabilità, valor medio, valore quadratico medio, varianza),
Momenti di ordine "n" centrati e non centrati. Caso particolare variabili aleatorie Gaussiane a media nulla.
Trasformazioni Y=g(X)  e teorema fondamentale del valor medio. Problema generale e dimostrazione formula per le d.d.p. Esempio: quadrato di variabili aleatorie Gaussiane e media nulla.
Variabili aleatorie Gaussiane, scostamento dal valor medio, calcolo intervalli di probabilità attraverso funzione di distribuzione normalizzata (tabulata).
Coppie di variabili aleatorie (funz. Distribuzione congiunta, d.d.p. congiunta, d.d.p. marginali, momenti misti, correlazione statistica, coeff. correlazione, d.d.p. condizionata, indipendenza, incorrelatezza.
Esempio: variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane, e densità di probabilità condizionata Gaussiana. Indipendenza coincide con la scorrelatezza. Esempio con altezza e peso di una popolazione.
SOMMA DI VARIABILI ALEATORIE INDIPENDENTI = convoluzione delle PDF con dimostrazione.
 Z = aX+bY con (X,Y) congiuntamente Gaussiana è Gaussiana anche se non indipendenti: senza dimostrazione, con calcolo di valor medio e varianza di Z.
Funzione di distribuzione e densità di probabilità congiunta di N variabili aleatorie.
Esempio: d.d.p. di N variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane e legame con la matrice di Covarianza.
Lunedì 22/04/2024 11:30 13:30 0   Lezione non utilizzata 2
Martedì 23/04/2024 10:30 13:30 3 Processi stocastici, Spettro di Densità di Potenza, e Transito in Sistemi LP


 Richiami su PROCESSI ALEATORI
Definizione, valore medio, varianza e loro interpretazione grafica per la dinamica in ampiezza del processo.
Densità di probabilità marginale e congiunta delle ampiezze del processo.
Autocorrelazione statistica di un P.A. e condizioni stazionarietà in senso lato e senso stretto.
Processi aleatori incorrelati, covarianza statistica e coefficiente di correlazione statistico.
Interpretazione grafica della stazionarietà in senso lato: velocità di variazione media del processo e conseguente legame con la banda.
PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI:
definizione, rappresentazione grafica, densità di probabilità del primo ordine e relazioni con l'andamento temporale nel caso di p.a. Gaussiani non stazionari.
Densità di probabilità congiunta: in-correlazione coincide con l'indipendenza.
SPETTRO DI DENSITA' DI POTENZA di P.A.
Definizione come media statistica degli spettri di densità di potenza di ciascuna realizzazione (P.A. generici, stazionari in senso lato).
Autocorrelazione temporale media, come valor medio  della autocorrelazione statistica: processi non-stazionari, stazionari.
Definizione di processi aleatori bianchi: spettro di densità di potenza e funzione di autocorrelazione statistica.
TRANSITO di PP.AA in sistemi LP
Valor medio in uscita e caso particolare per processi in ingresso stazionari in senso lato.
Spettro di densità di potenza medio in uscita e legame con lo spetro di densità potenza media in ingresso.
Equivalenza per sistemi a banda-passante limitata di processi aleatori bianchi in ingresso limitati in banda.
Dalla relazione tra gli spettri di densità di potenza di sistemi LP a quella tra le autocorrelazioni (senza dimostrazione della stazionarietà in senso lato dell'uscita se è SSL l'ingresso) .
Giovedì 25/04/2024 08:30 13:30 0   Festività della Liberazione
Lunedì 29/04/2024 11:30 13:30 0   Lezione non utilizzata 2
Martedì 30/04/2024 10:30 13:30 3 Processi stocastici: correlazioni statistiche ingresso-uscita in sistemi LP, processi ciclostazionari, processi armonici Calcolo della correlazione statistica incrociata ingresso-uscita di processi aleatori in sistemi LP .
Dimostrazione matematica della conservazione della stazionarietà in senso lato nel transito di processi aleatori in sistemi LP.
Richiami al modello  che riassume le proprietà di auto e cross-correlazione di ingresso e uscita in sistemi LP ed enfasi sulle identiche relazioni formali nel caso di correlazioni temporali e correlazioni statistiche.
Osservazione su processi aleatori a valor medio non nullo come somma di valor medio più un processo aleatorio a media nulla e conseguenze sulla autocorrelazione statistica (limite per \tau ---> \inf) e lo spettro di densità di potenza (impulso nell'origine).
Casi particolari sul valor medio:
- X(t) = a (v.a)
- Autocorrelazione periodica.
Processi CICLO-STAZIONARI: definizione e stazionarizzazione con ritardo uniformemente distribuito nel periodo di ciclo-stazionarietà.
PROCESSI ARMONICI
Definizione e rappresentazione grafica. Introduzione allo spettro di densità di potenza (e autocorrelazione media), come media statistica degli spettri d.d. potenza delle singole realizzazioni.
Calcolo della auto-correlazione statistica e osservazione sulla fase unif. distribuita per la stazionarietà in senso lato.
Periodicità come caso limite della ciclo-stazionarietà.
Valor medio statistico e osservazione sulla fase uniformemente distribuita per stazionarietà in senso lato. Valor medio con fase uniformemente distribuita in [0,pi/4].
Giovedì 02/05/2024 08:30 13:30 3 Processi stocastici: Armonici, Gaussiani, ed Esercizi ESERCIZIO: Densità di probabilità dell'ampiezza di un processo armonico (dimostrazione) e considerazioni sulle condizioni per la stazionarietà.
Valor medio statistico di processi armonici stazionari dalla pdf: ergodicità in media.   
PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI:
Densità di probabilità condizionata di due variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane estratte dal processo aleatorio Gaussiano.
Valor medio e varianza condizionate e loro significato: stimatore ottimo (più probabile) sull'ampiezza futura, con riduzione dell'incertezza sulla dinamica futura del processo quando lo conosco in un certo istante.
Proprietà dei momenti, anche misti, di variabili aleatorie Gaussiane a media nulla.
ESERCIZIO: processo Gaussiano "bianco" a banda limitata in ingresso a un "quadratore" istantaneo. Densità di probabilità del primo ordine dell'uscita, valor medio, autocorrelazione statistica e spettro di densità di potenza.
Generalizzazione a distorsioni non-lineari istantanee di processi aleatori ed espressione generale della autocorrelazione dell'uscita come sviluppo in serie di potenze di quella dell'ingresso.
ESERCIZIO: Somma di PA stazionari e indipendenti/scorrelati e spettri di densità di potenza associati (considerazioni sul valore medio).
Lunedì 06/05/2024 11:30 13:30 2 Serie aleatorie, correlazione statistica e spettro di densità di potenza Definizione di correlazione statistica e spettri di densità di potenza per serie aleatorie (SSL). Matrice di correlazione e covarianza statistica di una serie aleatoria a lunghezza finita. Caso particolare di un vettore di campioni estratti per campionamento equispaziato da un processo aleatorio tempo continuo.
Proprietà delle matrici di covarianza statistica. Decomposizione in autovettori e autovalori e concetto di diagonalizzazione. Generalizzazione alle trasformazioni lineari di vettori e relazioni tra valori medi e covarianze in ingresso e in uscita. Decorrelazione di un vettore aleatorio con matrice di Covarianza nota.
Colorazione di un processo aleatorio bianco (o piatto in banda) per filtraggio LP.
Equivalente tempo discreto e notazione matriciale y = H x per il filtraggio di x bianco a lunghezza finita.
Matrice di Covarianza di y e colore introdotto da H e legame di HH^T con Rhh(t) del filtro continuo. Sbiancamento della serie in uscita
ESERCIZIO-2 19/06/2018: processo aleatorio campionato e filtrato, valor medio, S.D.P., varianza e correlazione incrociata ingresso-uscita.
Martedì 07/05/2024 10:30 13:30 3  ESERCIZI VARI
su
Processi stocastici		 ESERCIZIO: Prodotto di PA stazionari e indipendenti e spettro di densità di potenza associato.
ESERCIZIO: processo gaussiano bianco in filtro passa-basso con funz. trasferimento triangolare (valor medio, SDP, Correlazione  IN-OUT, densità prob. congiunta ingresso-uscita).
ESERCIZIO: Processo campionatore stazionario: autocorrelazione statistica, come media statistica delle autocorrelazioni di ogni singola realizzazione.
Richiami alla stazionarizzazione di un processo ciclo-stazionario, ed equivalenza con la media temporale dell'autocorrelazione statistica di un P.A. SSL campionato in modo deterministico.
ESERCIZIO: campionamento stazionario di un PA e correlazione statistica del processo campionato.
Analoga proprietà per le autocorrelazioni deterministiche di segnali certi (senza dimostrazione).
Spettro di densità di potenza e legame con la DTFT della sequenza dell'auto-correlazione statistica campionata.
ESERCIZIO: processo aleatorio binario con assegnata pdf e autocorrelazione statistica, campionato in modo stazionario e filtrato con h(t)= tri_T/2(t). Calcolo di valor medio autocorrelazione statistica. e SDP con DTFT della correlazione dei simboli
Giovedì 09/05/2024 08:30 13:30 3 ESERCIZI VARI ESERCIZIO-2 09/07/2018: il prodotto di p.a. gaussiano colorato con un processo armonico, transita in un quadratore e filtro passa basso. Dell'uscita y(t) calcolare valor medio, s.d.p., varianza e Prob{y(t)<2}
ESERCIZIO: Modulazione di ampiezza con sinc(pi*B*t) tramite sommatore e quadratore e ulteriore (de-) modulazione (analisi nel tempo e in frequenza).
Calcolo Energia del Segnale in Uscita.
Lunedì 13/05/2024 11:30 13:30 0   Leziona annullata 
Martedì 14/05/2024 10:30 13:30 0   Leziona annullata 
Giovedì 16/05/2024 08:30 13:30 0   Leziona annullata 
Lunedì 20/05/2024 11:30 13:30 0   Leziona annullata 
Martedì 21/05/2024 10:30 13:30 3 ESERCIZI VARI
su
Processi stocastici		 ESERCIZIO: processo aleatorio binario con assegnata pdf e autocorrelazione statistica, campionato in modo stazionario e filtrato con h(t)= tri_T/2(t). Spettro di densità di Potenza, Generalizzazione e concetto di onda P.A.M., Simboli scorrealti e SDP.
ESERCIZIO-2 10/02/2014  derivata di un rumore gaussiano + processo aleatorio binario.
ESERCIZIO-2 02/09/2013: filtaggio passa-banda del prodotto di un processo gaussiano e un processo armonico;
Giovedì 23/05/2024 09:30 13:30 3 ESERCIZI VARI  
Totale 81
Lezioni Libere Lunedì 8