Giorno	Data	Ora inizio	Ora Fine	Ore	Titolo	Argomenti	Ore a disposizione
Lunedì	16/02/2026	14:30	16:30	2	Introduzione e Concetto di segnale	Introduzione al corso e obiettivi. Concetto di Segnale. Segnali certi e aleatori: esempi (ECG, sismografo, voce). Segnali Continui, Discreti e Quantizzati. Cenni ai segnali bidimensionali e tridimensionali. Segnali di Energia, valore medio di un segnale, potenza media. Segnali di potenza. Segnali complessi: rappresentazione in parte reale e immaginaria, modulo e fase. Operazioni con i segnali complessi: somma, prodotto, rapporto. Energia e Potenza dei segnali complessi. ESERCIZI di calcolo Energia-Potenza: segnale rettangolare, segnale costante, gradino unitario, gradino unitario ribaltato. Somma di segnali ed energia/potenza della somma: introduzione al concetto di prodotto scalare e ortogonalità dei segnali.
Martedì	17/02/2026	10:30	13:30	3	Segnali sinusoidali e Sviulppo in serie di Fourier	ESERCIZIO: calcolo della energia/potenza di un segnale esponenziale negativo unilatero. Segnali periodici: potenza e valor medio. Segnali sinusoidali: rappresentazione grafica, periodo e frequenza, ritardo associato alla fase. ESERCIZIO: calcolo della energia/potenza di un segnale sinusoidale. Concetto di fasore, e rappresentazione nel dominio (bilatero) della frequenza. Spettro associato a una sinusoide (Modulo e Fase) Somma di segnali periodici e condizione di periodicità. Segnali sinusoidali armonici. Introduzione allo sviluppo in serie di Fourier: combinazione lineare di funzioni sinusoidali armoniche. Sviluppo in serie di Fourier. Spettro a righe di un segnale periodico: Modulo e Fase, Parte reale e Immaginaria. Formule di Eulero e notazioni equivalenti dello sviluppo in serie di Fourier: Osservazione su segnali pari, dispari, reali e complessi. Rappresentazione di un segnale periodico come somma della sua parte pari e della sua parte dispari. Calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier: la serie di Fourier come un prodotto scalare. Proprietà di ortogonalità delle basi dello sviluppo in serie di Fourier.
Mercoledì	18/02/2026	10:30	13:30	3	Serie di Fourier: proprietà e introduzione alla Trasformata Continua di Fourier	Riepilogo sullo sviluppo in serie di Fourier e notazioni equivalenti. Osservazione su segnali pari, dispari, reali e complessi. Potenza di un segnale periodico, legame con i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier, e conseguenze dell'ortogonalità. Spettro di densità di potenza di un segnale periodico. Convergenza della serie di Fourier e criterio di Dirichelet. Arresto a un termine N-esimo dello sviluppo: potenza del segnale errore, considerazioni sull'ortogonalità, e su convergenza puntuale e in media quadratica. Cenni al fenomeno di Gibbs e contromisure. ESERCIZIO: SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER di una successione di triangoli e considerazioni sullo spettro, la risoluzione spettrale al variare del periodo, la larghezza di banda al variare della durata dei triangoli. Visualizzazione sviluppo in serie di Fourier e spettro associato tramite Matlab. Dallo sviluppo in serie di Fourier alla Trasformata Continua di Fourier (TCF) per segnali aperiodici: trasformata diretta. Trasformata INVERSA di Fourier come limite dello sviluppo in serie di Fourier, analogie, e cenni alla dualità dell'operatore. Impulsi matematici: definizione e proprietà fondamentali. Trasformata di Fourier di un impulso matematico centrato in t=0: calcolo. Trasformata di Fourier di una costante: problemi in f=0. Trasformata inversa di Fourier di un impulso matematico centrato in f=0. Cenni alla dualità dell'operatore Trasformata di Fourier.
Lunedì	23/02/2026	14:30	16:30	2	Trasformata Continua di Fourier- I	Riepilogo sulla definizione di Trasformata e Anti-trasformata continua di Fourier e proprietà. ESERCIZIO: TCF di un segnale rettangolare e osservazione su durata temporale, occupazione spettrale, simmetria pari. Generalizzazione a TCF di segnali reale e pari e immaginari e dispari per analogia allo sviluppo in serie di Fourier. Proprietà dell'AREA di un segnale e dell'area dello spettro. Effetto del cambio di durata del rettangolo sullo spettro e la "banda" del segnale. Cenni alla proprietà del cambiamento di SCALA tramite l'effetto sulla trasformata del "rect". Condizioni sufficienti di esistenza (segnali impulsivi e di energia). ESERCIZIO: TCF di una funzione esponenziale negativa unilatera x(t)=exp(-at)u(t). Calcolo dello spettro, disegno di parte reale, immaginaria, modulo e fase. Osservazione sulla componente pari e la componente dispari del segnale. Proprietà TCF: DUALITA' (esempio: trasformata di x(t)= Asinc(pi*B*t)). Proprietà della TCF: CAMBIAMENTO di SCALA (effetto sulla trasformata del rect), con dimostrazione. Proprietà TCF: RIBALTAMENTO degli assi (caso particolare segnali reali), con dimostrazione. Proprietà TCF: TRASLAZIONE TEMPORALE (con dimostrazione). La traslazione temporale come primo esempio di FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (modulo costante e fase lineare): osservazione sul ritardo di un segnale e sullo stesso ritardo di tutte le sue componenti frequenziali: ciascuna sfasata in modo proporzionale alla propria frequenza. TCF di un impulso matematico traslato nel tempo (esponenziale in frequenza). TCF di una costante (per dualità). TCF di un esponenziale nel tempo (impulso matematico traslato frequenza) (per dualità). TCF di x(t) = Ao*cos(2.pi.fo.t + q): modulo e fase dello spettro. Casi particolari: Ao*cos(2.pi.fo.t), Ao*sin(2.pi.fo.t).
Martedì	24/02/2026	10:30	13:30	3	Trasformata Continua di Fourier-II : proprietà ed esercizi	TCF di un impulso matematico traslato nel tempo (esponenziale in frequenza). TCF di un esponenziale nel tempo (impulso matematico traslato frequenza) (per dualità). TCF di x(t) = Ao*cos(2.pi.fo.t + q): modulo e fase dello spettro. Casi particolari: Ao*cos(2.pi.fo.t), Ao*sin(2.pi.fo.t). TCF di segnali PERIODICI e relazione con lo sviluppo in serie di Fourier. Segnale gradino unitario: l'impulso matematico è la sua derivata. Derivata di qualunque funzione discontinua. Proprietà TCF: derivazione (iterativa) nel tempo. Il derivatore come secondo esempio di FUNZIONE DI TRASFERIMENTO associata a un dispositivo lineare. Modulo e Fase della funzione di trasferimento. METODO DELLA DERIVATA per calcolo TCF e osservazione sul valor medio di un segnale. Proprietà della TCF: derivazione (iterativa) in frequenza e metodo della derivata per calcolo anti-TCF. ESERCIZIO: TCF di un triangolo isoscele con metodo della derivata: osservazione sul legame con la trasformata del rettangolo. ESERCIZIO: TCF di un gradino unitario con il metodo della derivata e legame con TCF della funzione segno(t). Dualità: funziona segno in frequenza e filtro di Hilbert. Cenni all'integrazione di convoluzione per il calcolo della trasformata di Hilbert.
Mercoledì	25/02/2026	08:30	10:30	2	Trasformata Continua di Fourier-III : proprietà ed esercizi	Proprietà TCF: Y(f) = H(f)X(f) prodotto in frequenza e integrale di convoluzione nel tempo. Risposta all'impulso di un sistema e motivazione del perché descrive il comportamento del sistema lineare e permanente rispetto a qualunque ingresso. Esempio: caso particolare X(f)=H(f)=T sinc(pi.T.f) e il triangolo come auto-convoluzione del rettangolo:  1) Da trasformate notevoli già calcolate, passando in frequenza  2) Dimostrazione attraverso calcolo della auto-convoluzione. Generalizzazione alla convoluzione di due rettangoli di base diversa centrati nell'origine (da svolgere da soli aggiungendo un caso alla discussione precedete): trapezio con base maggiore pari alla somma delle durate dei triangoli e base minore pari alla differenza. Dualità: Prodotto nel tempo e integrale di convoluzione in frequenza. Proprietà TCF: integrale nel tempo.  1) Relazioni con la proprietà di derivazione.  2) Dimostrazione tramite integrale di convoluzione. TEOREMA di Plancharel-Parseval. Considerazioni su prodotto scalare nel tempo e in frequenza (ortogonalità e separazione). ESEMPIO: calcolo dell'energia incrociata di sinc(pi.B.t) e cos(20.pi.B.t).
Lunedì	02/03/2026	14:30	16:30	2	ESERCIZI e Correlazioni di Energia e Potenza	ESERCIZIO: Convoluzione di un segnale con un impulso nel tempo e rivisitazione del dispositivo di ritardo ideale. Convoluzione di uno spettro di un segnale con un impulso in frequenza. ESERCIZIO: spettro della modulazione di ampiezza y(t) = x(t)cos(2*pi*fo*t),  x(t) =rect_T(t). Integrale di convoluzione con impulsi in frequenza. ESERCIZIO: TCF di una successione di impulsi equi-ampiezza. Integrale di Correlazione incrociata di Energia: definizione e significato  di grado di similutudine tra due segnali tramite il concetto di prodotto scalare "traslazione-variante". Applicazione del Teorema di Parseval all'integrale di Correlazione (di energia): correlazione incrociata di energia come TF inversa di X(f)Y(f)*  (spettro di densità di energia incrociata). Proprietà di simmetria coniugata della correlazione incrociata. Calcolo dell'Energia di un segnale e Teorema di Parseval: concetto intuitivo di Spettro di Densità di Energia (SDE). Proprietà: - Disuguaglianza di Schwartz - Autocorrelazione massima Rxx(0) - y(t) = k*x(t-to) Cross-Correlazione per segnali di potenza. Definizione e Spettro di densità di potenza incrociata.
Martedì	03/03/2026	10:30	13:30	3	Autocorrelazione e Spettro di Densità di Potenza di Segnali Periodici ed  Esecizi	Considerazioni sull'esistenza della trasformata di Fourier di autocorrelazioni di potenza. Autocorrelazione di potenza di segnali periodici: periodica e si calcola in un periodo. Spettro di densità di potenza di segnali periodici: relazione con periodicità del segnale e coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier. Metodo di calcolo dell'autocorrelazione di potenza a partire dalla autocorrelazione di energia di una singola replica. Ulteriori proprietà della funzione di autocorrelazione: invarianza alle traslazioni temporali. ESERCIZIO: correlazione incrociata di energia di due rettangoli di stessa base e diversa traslazione. Relazioni con la auto-convoluzione. GENERALIZZAZIONE: convoluzione e correlazione di segnali a durata limitata ed effetto delle traslazioni. ESERCIZIO: Autocorrelazione e spettro di densità di potenza di una successione di rettangoli di periodo T e durata 3T/4 Osservazione che la correlazione non implica necessariamente l'esistenza di un nesso causale tra le grandezze o fenomeni associati ai due segnali. Esempio di due segnali "causati" da un terzo segnale secondo il modello matematico y_i(t)=k_i*x(t-t_i). Sono correlati perché causati da un terzo ma non esiste alcun legame di causa-effetto tra le due grandezze fisiche o fenomeni che essi descrivono. Autocorrelazione di energia di un triangolo centrato nell'origine calcolo per il primo caso, individuazione degli estremi di integrazione per il secondo caso, e considerazioni sul risultato pari della autocorrelazione.
Mercoledì	04/03/2026	10:30	13:30	3	Campionamento di segnali e Teorema del Campionamento	ESERCIZIO: Calcolo dello spettro di y(t)=x(t)c(t), con c(t) = successione di impulsi equi-ampiezza e x(t) = B.sinc^2(pi.B.t). Espressione come replica dello spettro originale e come DTFT. Generalizzazione a qualunque spettro X(f) a banda rigorosamente limitata in [-B,B]. Teorema del Campionamento e formula di ricostruzione: considerazioni sulla rappresentazione grafica della ricostruzione per interpolazione cardinale. Ricostruzione a tenuta e per interpolazione lineare e associata distorsione in frequenza. Cenni ai filtri di compensazione delle distorsioni nei convertitori analogico-digitali. Aliasing di segnali a durata limitata: filtro anti aliasing. Osservazioni sul Teorema del campionamento: a) Ortogonalità delle funzioni sinc(.) nella ricostruzione di un segnale e supporto limitato in banda. (dimostrabile con teorema di Parseval) b) Campione x(nTc) come prodotto scalare di x(t) con sinc(pi.Fc(t-n/Fc)) , per segnali limitati in banda.(dimostrazione dal Teorema di Parseval). N.B. Se X(f) non è limitato in banda, il coefficiente ottimo è il campione del segnale in uscita al filtro anti-aliasing ideale. c) Campionamento di una sinusoide: seno a fase nulla, coseno a fase nulla, fase generica. Analisi nel tempo e in frequenza. d) Repliche spettrali e righe (impulsi) nel tempo: dualità con sviluppo in serie di Fourier di segnali periodici nel tempo.
Lunedì	09/03/2026	14:30	16:30	2	DFT e analisi spettrale di segnali tramite campionamento.	La DTFT come normalizzazione della trasformata di Fourier del segnale campionato e generalizzazione alle sequenze qualunque. Periodicità della DTFT e formula inversa dallo sviluppo in serie di Fourier nel dominio della frequenza. Sequenze a durata finita e campionamento uniforme nel dominio della frequenza della DTFT: la DFT e la sua formula inversa come inversione di un sistema di equazioni lineari: rappresentazione matematica del sistema di equazioni della DFT con notazione matriciale. Simmetria e ortogonalità delle righe della matrice della DFT, con dimostrazione. DFT come proiezione su una base ortogonale e IDFT, sfruttando l'ortogonalità della rappresentazione matriciale e come prodotto scalare dello spettro X[k] sulla base ortogonale. Analisi spettrale tramite DFT di un segnale tempo continuo a durata finita fissata e Banda (praticamente limitata: numero campioni minimo fissato dal teorema del campionamento. Aumento della risoluzione spettrale (diminuzione della distanza delle righe dello spettro): - non aumenta aumentando la frequenza di campionamento del segnale tempo-continuo da cui si è generata la sequenza. (si introducono ZERI nel dominio della frequenza) - Campionamento su M punti della DTFT ed equivalenza con la DFT su M punti della sequenza ottenuta per prolungamento con (M-N) zeri della sequenza originale (ZERO-PADDING nel tempo). Analisi spettrale di una sequenza a lunghezza finita tramite Matlab: sequenza generata somma di due sinusoidi di ampiezza diversa, ed effetto dello zero-padding. Codice generato tramite Matlab Copilot: calcolo e disegno del grafico del modulo della DFT di una sequenza ottenuta per campionamenti di 2 sinusoidi, generazione del vettore delle frequenze, effetto della lunghezza della finestra di osservazione nel dominio del tempo, etc.
Martedì	10/03/2026	10:30	13:30	3	Sistemi Lineari e non-lineari. Sistemi lineari e permanenti (filtri): risposta in frequenza, causalità,stabilità BIBO.	Introduzione al transito dei segnali nei sistemi. Cenni alla differenza tra Trasformazione di un Segnale e Sistema: concetto di stato, riposta libera e risposta forzata. Sistemi lineari (L) e non lineari (NL). Sistemi permanenti (P) e non permanenti (NP). Sistemi con MEMORIA e ISTANTANEI. ESEMPIO: trasformazione affine (NL-P), quadratore (NL-P), Guadagno Variabile (L-NP). Sistemi CAUSALI (potenzialmente fisicamente realizzabili): definizione. Risposta impulsiva di un sistema: definizione. Sistemi lineari e permanenti (LP) e uscita come integrale di convoluzione dell'ingresso con la risposta impulsiva: dimostrazione analitica tramite ingresso convoluto con il delta di Dirac. Cenni alla dimostrazione tramite scomposizione dell'ingresso come somma di rettangoli di durata infinitesimale (da studiare nei dettagli da soli).  OSSERVAZIONE: i sistemi LP non introducono nuove frequenze. CONTRO-ESEMPIO sistema NL-P: B.sinc(pi.B.t) in un quadratore introduce nuove frequenze. CONTRO-ESEMPIO sistema L-NP: Coseno in amplificatore a guadagno variabile genera nuove frequenze. Memoria e "predizione" dell'integrale di convoluzione: C.N.E.S. alla causalità per sistemi LP (con dimostrazione). Sistemi Stabili in senso B.I.B.O.: C.N.E.S. alla stabilità in senso BIBO per sistemi LP (dimostrazione C.S.). Legami con la stabilità di sistemi LP in teoria dei sistemi: trasformata di Laplace della risposta impulsiva, legame con la Trasformata di Fourier, rappresentazione grafica, e poli a parte reale negativa. Rapidi richiami di teoria dei sistemi: risposta impulsiva come somma di esponenziali negativi unilateri e legami con la integrabilità delle singole risposte impulsive. ESEMPIO: integratore ideale. Calcolo della risposta impulsiva a gradino dalla definizione e dalla espressione equivalente come integrale di convoluzione (già vista nella proprietà di integrazione della trasformata di Fourier). Instabilità dalla non-sommabilità della risposta impulsiva o equivalentemente dalla H(s), con unico polo in zero.
Mercoledì	11/03/2026	10:30	13:30	-	-	Lezione non utilizzata per Seminario Mathworks - Licenza Campus Wide Matlab
Lunedì	16/03/2026	14:30	16:30	2	Classificazione dei filtri, cascata e parallelo. Autosegnali di sistemi LP.	Classificazione dei sistemi LP come filtri: passa basso, passa-banda, passa-alto ideali. Cenni ai filtri reali e concetti di banda passante, banda di transizione, banda di arresto, ripple in banda e attenuazione fuori banda.  Sistemi LP in cascata e sistemi LP in parallelo: sistemi equivalenti. OSSERVAZIONE sull' ipotesi di "separazione" (non perturbazione) tra i sistemi quando connessi. Segnali esponenziali complessi in sistemi LP: concetto di auto-funzione di un sistema LP: analisi in frequenza, nel tempo e similitudine con auto-vettori di matrici. Generalizzazione ai segnali sinusoidali: sfasamento e ritardo al variare della frequenza. Segnali Periodici in sistemi LP: analisi nel tempo e analisi in frequenza (relazione con Sviluppo in Serie di Fourier).
Martedì	17/03/2026	10:30	13:30	3	Trasformate di Laplace e Fourier. ESERCIZI VARI	Analogie tra trasformata di Laplace (TL) e di Fourier (TF): la trasformata di Laplace come una superficie di trasformate di Fourier. ROC della TL. Esempio: risposta impulsiva a gradino ed esponenziale negativo. Cenni allo sviluppo in frazioni parziali della TL con sistemi poli semplici e somma delle risposte impulsive esponenziali. ESERCIZIO: il filtro a media mobile, la sua riposta impulsiva e quella in frequenza. ESERCIZIO: funzione di trasferimento e risposta impulsiva di un sistema a semplice retroazione negativa (con ritardo): considerazioni sulla stabilità, grafico del modulo della funzione di trasferimento. ESERCIZIO: calcolare lo spettro di un segnale modulato in ampiezza su portante "fo" e poi campionato, con Fc= fo/k. Analogo risultato con demodulazione diretta. ESERCIZIO: Trasformata di Fourier di un trapezio isoscele: come differenza di triangoli, con il metodo della derivata, e come trasformata della convoluzione di due rettangoli.
Mercoledì	18/03/2026	10:30	13:30	3	Teoremi di Wiener-Kintchin: spettro di Densità di Energia e Potenza	Autocorrelazioni e correlazione incrociata di energia tra ingresso e uscita di un sistema lineare e permanente. Spettro di densità di Energia e Teorema di Wiener-Kintchin (con dimostrazione). Spettro di densità di Potenza: definizione e Teorema di Wiener-Kintchin per segnali di potenza (Dimostrazione accennata). Autocorrelazioni e correlazione incrociata di energia/potenza, tra ingresso e uscita di un sistema lineare e permanente. Spettro di densità di Energia/Potenza in ingresso e uscita a sistema LP. ESEMPIO: integratore ideale con ingresso rect(t): ingresso di energia, uscita di potenza.  Calcolo di correlazione incrociata ingresso - uscita di energia Inversione di ingresso e risposta impulsiva e calcolo correlazione incrociata ingresso-uscita. ESEMPIO INVERSO: rampa con saturazione in ingresso a un derivatore. Metodo di calcolo correlazione incrociata come derivata della auto-correlazione.
Lunedì	23/03/2026	14:30	16:30	-	-	Lezione annullata per Referendum Nazionale
Martedì	24/03/2026	10:30	13:30	-	-	Lezione Annullata per Giornata Studio AI e Sistemi Embedded (Prof. Placidi)
Mercoledì	25/03/2026	10:30	13:30	3	ESERCIZI VARI	ESERCIZIO: Autocorrelazione di Energia in uscita a un derivatore con ingresso x(t) = A*rect_T(t) (Svolgimento con 2 metodi diversi). OSSERVAZIONE: Il segnale di uscita non è di Energia, ma l'autocorrelazione di Energia esiste (in senso generalizzato) Autocorrelazione di potenza di un treno di impulsi equi-ampiezza e Spettro di densità di Potenza. Segnali periodici come uscita di un filtro con ingresso un treno di impulsi e relazioni con la autocorrelazione. ESERCIZIO: x(t)=B sinc^2(pi.B.t) passa in filtro con h(t)=sinc(pi.B.t), calcolare correlazione incrociata ingresso-uscita. ESEMPIO: Filtro RC (Funzione di trasferimento, Modulo e Fase, Frequenza di taglio.) Analisi del comportamento da integratore (passa basso) o passa tutto in funzione dello spettro dell'ingresso. Risposta impulsiva del Filtro RC, e analisi comportamento da integratore o passa tutto in funzione della costante di tempo nel dominio del tempo. ESERCIZIO: carica e scarica filtro RC come integrale di convoluzione con segnale rettangolare.
Lunedì	30/03/2026	14:30	16:30	2	Dal Teorema del Campionamento alla DTFT e DFT: proprietà fondamentali. - Sistemi lineari e permanenti tempo-discreti e relazione con DFT e DTFT.	Richiami su teorema del campionamento e DTFT dalla trasformata di Fourier del segnale campionato. Periodicità e formula inversa della DTFT dallo sviluppo in serie di Fourier nel dominio della frequenza. Proprietà di traslazione temporale discreta. Prodotto di sequenze e convoluzione circolare della DTFT. Energia e Potenza di sequenze. Sequenze esponenziali tempo discrete: condizioni per la periodicità. DTFT di un'esponenziale tempo discreta: dimostrazione con la IDFT, oppure come campionamento di una esponenziale tempo-continua. Richiami sulla ortogonalità delle esponenziali complesse di periodo N, trasformata discreta di Fourier (DFT) diretta e inversa. Relazione con la DTFT. Sistemi lineari e permanenti tempo discreti, delta di Kronecker e risposta impulsiva. Uscita di sistemi LP tempo-discreti, convoluzione tempo discreta e prodotto della DTFT. Funzione di trasferimento H(F), condizioni per la causalità e la stabilità B. I. B. O. La DFT come prodotto scalare e sua periodicità. La IDFT come sviluppo di un segnale su una base ortogonale. Auto-funzioni di sistemi lineari e permanenti tempo-discreti: analisi nel tempo e in frequenza. Generalizzazione alle sinusoidi tempo-discrete. Sovra-campionamento nel dominio del tempo: ZERO-filling nel dominio della frequenza. Sovra-campionamento per interpolazione cardinale tempo-discreta: upsampling con zeri nel tempo e filtraggio. Considerazioni sulla complessità dei due schemi di interpolazione.
Martedì	31/03/2026	10:30	13:30	3	DFT: proprietà,  risoluzione spettrale,  convoluzione circolare,	Proprietà della  DTFT: X[k]H[k] di lunghezza N in frequenza, corrisponde una convoluzione CIRCOLARE nel tempo di h[n] e x[n] di lunghezza N. Osservazione su DFT di ingresso e uscita di un sistema lineare e permanente per sequenze a lunghezza finita:  prodotto delle DFT se definite sul numero di campioni dell'uscita (zero-padding di h[n] e x[n].). La convoluzione circolare coincide con la convoluzione lineare se si fa ZERO-PADDING !! Qualunque sequenze periodica è rappresentabile come I-DFT ==>  DTFT di una sequenza periodica é uno spettro a righe con impulsi di area pari alla DFT del singolo periodo. Trasformata Zeta (TZ) bilatera: regioni di convergenza e relazioni con DTFT. Analogia con Trasformata di Laplace e Trasformata di Fourier di segnali tempo continui. Legame tra trasformata Zeta e di Laplace della sequenza ottenuta per campionamento. Trasformazione conforme z = exp(sTc). Anti-trasformata Zeta. Sistemi LP tempo discreti: convoluzione discreta e prodotto delle funzioni di trasferimento (DTFT e TZ), dimostrazione per TZ. Sistemi LP tempo-discreti causali e condizione su risposta impulsiva. Sistemi LP tempo-discreti stabili in senso BIBO: sommabilità in modulo risp. impulso e relazione con ROC della H(z). Posizione dei poli di sistemi LP causali e stabili e analogia con TL di sistemi LP tempo continui. Definizione di sistema FIR e IIR. Implementazione di un sistema FIR attraverso ritardi. TZ di un esponenziale unilatero, ROC e polo: condizioni di stabilità per il sistema associato. Implementazione come sistema a singola retroazione (feed-back). Relazione con equivalente sistema tempo continuo retro-azionato, tramite campionamento della risposta impulsiva. Funzione di trasferimento (DTFT) e natura passa-basso nel periodo fondamentale [-1/2, 1/2] in F
Mercoledì	01/04/2026	10:30	13:30	3	Equazione alle differenze e Sviluppo in Frazioni parziali di sistemi LP tempo discreti. Progetto di filtri numerici da filtri analogici: tecniche di trasformazione da Laplace a Zeta.	Equazione alle differenze per sistemi L.P. con funzione di trasferimento espressa come rapporto di polinomi. Strutture implementative equivalenti. Sistemi L. P. in serie e in parallelo. Zeri e Poli della funzione di trasferimento. Cascata di funzioni di trasferimento a un polo e uno zero. Sviluppo in frazioni parziali, con poli semplici e parallelo di sistemi. Progetto di filtri numerici equivalenti a quelli analogici: teorema dell'invarianza della risposta impulsiva: attenzione all'aliasing ! Relazione tra H(s) e H(z) e mappaggio z = e^(sTc): poli stabili e instabili in (s) e (z). Trasformazione da frazioni parziali in Laplace a frazioni parziali in Zeta attraverso invarianza della risposta impulsiva: attenzione all'introduzione di zeri simmetrici ai poli nel dominio discreto. Cenni al metodo della trasformata bilineare come trasformazione alternativa dal piano di Laplace a quello Zeta, che non soffre di aliasing ma distorce la funzione di trasferimento. Notazione matriciale associata a convoluzione lineare e circolare. Osservazione sulla diagonalizzazione di matrici circolanti tramite matrice di DFT:  concetto di autovalore e auto-vettore di un filtro circolante e analogia con i sistemi tempo-continui.
Lunedì	06/04/2026	14:30	16:30	-	-	Vacanze Pasquali
Martedì	07/04/2026	10:30	13:30	-	-	Vacanze Pasquali
Mercoledì	08/04/2026	differenze	13:30	-	-	Lezione non utilizzata	2
Lunedì	13/04/2026	14:30	16:30	-	-	Lezione non utilizzata
Martedì	14/04/2026	10:30	13:30	3	Ripasso di Teoria della Probabilità: variabili aleatorie.	RICHIAMI SU: variabili aleatorie continue e discrete (definizione, funz. di distribuzione, d.d.probabilità, valor medio, valore quadratico medio, varianza), Momenti di ordine "n" centrati e non centrati. Caso particolare variabili aleatorie Gaussiane a media nulla. Trasformazioni Y=g(X)  e teorema fondamentale del valor medio. Problema generale e dimostrazione formula per le d.d.p. Esempio: quadrato di variabili aleatorie Gaussiane e media nulla. Variabili aleatorie Gaussiane, scostamento dal valor medio, calcolo intervalli di probabilità attraverso funzione di distribuzione normalizzata (tabulata). Coppie di variabili aleatorie (funz. Distribuzione congiunta, d.d.p. congiunta, d.d.p. marginali, momenti misti, correlazione statistica, coeff. correlazione, d.d.p. condizionata, indipendenza, incorrelatezza. Esempio: variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane, e densità di probabilità condizionata Gaussiana. Indipendenza coincide con la scorrelatezza. Esempio con altezza e peso di una popolazione. SOMMA DI VARIABILI ALEATORIE INDIPENDENTI = convoluzione delle PDF con dimostrazione.  Z = aX+bY con (X,Y) congiuntamente Gaussiana è Gaussiana anche se non indipendenti: senza dimostrazione, con calcolo di valor medio e varianza di Z. Funzione di distribuzione e densità di probabilità congiunta di N variabili aleatorie. Esempio: d.d.p. di N variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane e legame con la matrice di Covarianza.
Mercoledì	15/04/2026	10:30	13:30	3	Processi stocastici, Spettro di Densità di Potenza, e Transito in Sistemi LP	Richiami su PROCESSI ALEATORI Definizione, valore medio, varianza e loro interpretazione grafica per la dinamica in ampiezza del processo. Densità di probabilità marginale e congiunta delle ampiezze del processo. Autocorrelazione statistica di un P.A. e condizioni stazionarietà in senso lato e senso stretto. Processi aleatori incorrelati, covarianza statistica e coefficiente di correlazione statistico. Interpretazione grafica della stazionarietà in senso lato: velocità di variazione media del processo e conseguente legame con la banda. PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI: definizione, rappresentazione grafica, densità di probabilità del primo ordine e relazioni con l'andamento temporale nel caso di p.a. Gaussiani non stazionari. Densità di probabilità congiunta: in-correlazione coincide con l'indipendenza. SPETTRO DI DENSITA' DI POTENZA di P.A. Definizione come media statistica degli spettri di densità di potenza di ciascuna realizzazione (P.A. generici, stazionari in senso lato). Autocorrelazione temporale media, come valor medio  della autocorrelazione statistica: processi non-stazionari, stazionari. Definizione di processi aleatori bianchi: spettro di densità di potenza e funzione di autocorrelazione statistica. TRANSITO di PP.AA in sistemi LP Valor medio in uscita e caso particolare per processi in ingresso stazionari in senso lato. Spettro di densità di potenza medio in uscita e legame con lo spetro di densità potenza media in ingresso. Equivalenza per sistemi a banda-passante limitata di processi aleatori bianchi in ingresso limitati in banda. Dalla relazione tra gli spettri di densità di potenza di sistemi LP a quella tra le autocorrelazioni (senza dimostrazione della stazionarietà in senso lato dell'uscita se è SSL l'ingresso) .
Lunedì	20/04/2026	14:30	16:30	2	Pprocessi ciclostazionari e Processi Armonici	Processi CICLO-STAZIONARI: definizione e stazionarizzazione con ritardo uniformemente distribuito nel periodo di ciclo-stazionarietà. Segnali determinati come caso limite di processi aleatori non stazionari. Periodicità come caso limite della ciclo-stazionarietà. PROCESSI ARMONICI Definizione e rappresentazione grafica. Introduzione allo spettro di densità di potenza (e autocorrelazione media), come media statistica degli spettri d.d. potenza delle singole realizzazioni. Valor medio statistico e osservazione sulla fase uniformemente distribuita per stazionarietà in senso lato. Valor medio con fase uniformemente distribuita in [0,pi/4]. Calcolo della auto-correlazione statistica e osservazione sulla fase unif. distribuita per la stazionarietà in senso lato. ESERCIZIO: Densità di probabilità dell'ampiezza di un processo armonico (dimostrazione) e considerazioni sulle condizioni per la stazionarietà. Valor medio statistico di processi armonici stazionari dalla pdf: ergodicità in media.
Martedì	21/04/2026	10:30	13:30	3	Processi Aleatori Gaussiani ed Esercizi	PROCESSI ALEATORI GAUSSIANI: Densità di probabilità condizionata di due variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane estratte dal processo aleatorio Gaussiano. Valor medio e varianza condizionate e loro significato: stimatore ottimo (più probabile) sull'ampiezza futura, con riduzione dell'incertezza sulla dinamica futura del processo quando lo conosco in un certo istante. ESERCIZIO: processo Gaussiano "bianco" a banda limitata in ingresso a un "quadratore" istantaneo. Densità di probabilità del primo ordine dell'uscita, valor medio, autocorrelazione statistica e spettro di densità di potenza. Generalizzazione a distorsioni non-lineari istantanee di processi aleatori ed espressione generale della autocorrelazione dell'uscita come sviluppo in serie di potenze di quella dell'ingresso ESERCIZIO: Somma di PA stazionari e indipendenti/incorrelati e spettri di densità di potenza associati (considerazioni sul valore medio). Contro-esempio: somma di due processi aleatori in uscita a un quadratore e un ritardo puro, con in ingresso lo stesso processo aleatorio x(t): non vale l'ipotesi di indipedenza statistica. ESERCIZIO: Prodotto di PA stazionari e indipendenti e spettro di densità di potenza associato.
Mercoledì	22/04/2026	10:30	13:30	3	Essercizi su Processi Aleatori	ESERCIZIO: processo gaussiano bianco in filtro passa-basso con funzione di trasferimento triangolare (valor medio, SDP, Correlazione  IN-OUT, densità probabilità congiunta ingresso-uscita). ESERCIZIO: Processo campionatore stazionario: autocorrelazione statistica, come media statistica delle autocorrelazioni di ogni singola realizzazione. Richiami alla stazionarizzazione di un processo ciclo-stazionario, ed equivalenza con la media temporale dell'autocorrelazione statistica di un P.A. SSL campionato in modo deterministico. ESERCIZIO: campionamento stazionario di un PA e correlazione statistica del processo campionato. Analoga proprietà per le autocorrelazioni deterministiche di segnali certi campionati (senza dimostrazione)
Lunedì	27/04/2026	14:30	16:30	2	Essercizi su Processi Aleatori	ESERCIZIO: processo gaussiano bianco in filtro passa-basso con funzione di trasferimento triangolare (valor medio, SDP, Correlazione  IN-OUT, densità probabilità congiunta ingresso-uscita). ESERCIZIO: Processo campionatore stazionario: autocorrelazione statistica, come media statistica delle autocorrelazioni di ogni singola realizzazione. Richiami alla stazionarizzazione di un processo ciclo-stazionario, ed equivalenza con la media temporale dell'autocorrelazione statistica di un P.A. SSL campionato in modo deterministico. ESERCIZIO: campionamento stazionario di un PA e correlazione statistica del processo campionato. Analoga proprietà per le autocorrelazioni deterministiche di segnali certi (senza dimostrazione)
Martedì	28/04/2026	10:30	13:30	3	Serie aleatorie, correlazione statistica e spettro di densità di potenza	Definizione di correlazione statistica e spettri di densità di potenza per serie aleatorie (SSL).  Matrice di correlazione e covarianza statistica di una serie aleatoria a lunghezza finita. Caso particolare di un vettore di campioni estratti per campionamento equispaziato da un processo aleatorio tempo continuo. Proprietà delle matrici di covarianza statistica. Decomposizione in autovettori e autovalori e concetto di diagonalizzazione. Generalizzazione alle trasformazioni lineari di vettori e relazioni tra valori medi e covarianze in ingresso e in uscita. Decorrelazione di un vettore aleatorio con matrice di Covarianza nota. Colorazione di un processo aleatorio bianco (o piatto in banda) per filtraggio LP. Equivalente tempo discreto e notazione matriciale y = H x per il filtraggio di x bianco a lunghezza finita. Matrice di Covarianza di y e colore introdotto da H e legame di HH^T con Rhh(t) del filtro continuo. Esercizio 1 del 12/06/2009 Segnale periodico a segni alterni che passa in un quadratore e un soft-limiter e successivamente è filtrato passa basso sulla prima armonica. Valor medio e spettro all'uscita del quadratore (con metodo della derivata).  Espressione analitica dell'uscita del filtro.
Mercoledì	29/04/2026	10:30	13:30	3	ESERCIZI VARI	ESERCIZIO-2 19/06/2018: processo aleatorio campionato e filtrato, valor medio, S.D.P., varianza e correlazione incrociata ingresso-uscita. ESERCIZIO-2 09/07/2018: il prodotto di p.a. gaussiano colorato con un processo armonico, transita in un quadratore e filtro passa basso. Dell'uscita y(t) calcolare valor medio, s.d.p., varianza e Prob{y(t)<2} ESERCIZIO: Modulazione di ampiezza con sinc(pi*B*t) tramite sommatore e quadratore e ulteriore (de-) modulazione (analisi nel tempo e in frequenza). Calcolo Energia del Segnale in Uscita. ESERCIZIO: processo aleatorio binario con assegnata pdf e autocorrelazione statistica, campionato in modo stazionario e filtrato con h(t)= tri_T/2(t). Calcolo di valor medio autocorrelazione statistica. e SDP con DTFT della correlazione dei simboli
Lunedì	04/05/2026	14:30	16:30	-	-	Lezione non utilizzata per impegni scientifici del docente
Martedì	05/05/2026	10:30	13:30	-	-	Lezione non utilizzata per impegni scientifici del docente
Mercoledì	06/05/2026	10:30	13:30	-	-	Lezione non utilizzata per impegni scientifici del docente
Lunedì	11/05/2026	14:30	16:30	3	ESERCIZI VARI su Processi stocastici	ESERCIZIO: processo aleatorio binario con assegnata pdf e autocorrelazione statistica, campionato in modo stazionario e filtrato con h(t)= tri_T/2(t). Spettro di densità di Potenza, Generalizzazione e concetto di onda P.A.M., Simboli scorrealti e SDP. ESERCIZIO-2 10/02/2014  derivata di un rumore gaussiano + processo aleatorio binario. ESERCIZIO-2 02/09/2013: filtaggio passa-banda del prodotto di un processo gaussiano e un processo armonico;
Martedì	12/05/2026	10:30	13:30	3	Esercizi su sitemi e segnali tempo-discreti	Sistema LTI tempo discreto a doppio ritardo di retroazione e singolo ritardo di feedbac: equazione alle differenze, funzione di trasferimento in Z, stabilità BIBO, calcolo della risposta impulsiva. Sinsoide tempo discreta in ingresso e uscita del sistema LTI precedente, tramite DTFT. Aprossimazione di un derivatore tempo continuo tramite fltro LTI tempo-discreto.
Mercoledì	13/05/2026	10:30	13:30	3	ESERCIZI VARI	Esercizi proposti dagli studenti
Lunedì	18/05/2026	14:30	16:30	-	-	Lezione non utilizzata	2
Martedì	19/05/2026	10:30	13:30	3	ESERCIZI VARI	Esercizi proposti dagli studenti	3
Mercoledì	20/05/2026	10:30	13:30	-	-	Lezione non utilizzata	3
Totale ore lezione		81
Ore libere per recupero		10