Luca Rugini - Teoria dei Fenomeni Aleatori

Università degli Studi di Perugia

Laurea in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni (Sede di Orvieto)

Teoria dei Fenomeni Aleatori (27 ore, 3 CFU, A.A. 2007/2008)

DOCENTE
Luca Rugini

OBIETTIVI DEL CORSO
Comprendere il concetto di probabilità e di variabile aleatoria. Acquisire gli strumenti per caratterizzare statisticamente i segnali di natura aleatoria.

PROGRAMMA DEL CORSO
Teoria della probabilità
Eventi aleatori. Probabilità di un evento: approccio classico, frequentista, assiomatico. Elementi di teoria degli insiemi. Probabilità congiunta, probabilità condizionata, eventi indipendenti. Teorema della probabilità totale. Teorema di Bayes. Esempio: applicazione alla trasmissione dell’informazione.
Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Prove ripetute: formula di Bernoulli. Esempi: codice a ripetizione, codice a controllo di parità.
Variabili aleatorie
Concetto di variabile aleatoria. Funzione di distribuzione di probabilità cumulativa, funzione di densità di probabilità. Cenni sull’impulso di Dirac. Variabili aleatorie continue, discrete, miste. Esempi: variabili aleatorie uniformi, esponenziali, gaussiane.
Momenti di variabile aleatoria: momenti centrati e non centrati, valor medio, varianza. Momenti di variabili aleatorie gaussiane. Disuguaglianza di Chebyshev. Variabili aleatorie condizionate.
Trasformazione di variabile aleatoria
Caratterizzazione statistica di Y = g(X) : determinazione della funzione di distribuzione cumulativa di Y, determinazione della densità di probabilità di Y, teorema fondamentale del valor medio. Esempi: trasformazione lineare, quadratore, soft limiter, seno. Problema inverso: determinazione di g. Esempio: generazione di variabile aleatoria Rayleigh.
Variabili aleatorie bidimensionali
Coppie di variabili aleatorie: funzione di distribuzione di probabilità (cumulativa) congiunta e marginale, funzione di densità di probabilità congiunta e marginale. Momenti di coppie di variabili aleatorie: momenti centrati e non centrati, momenti misti, covarianza, coefficiente di correlazione. Variabili aleatorie indipendenti, incorrelate, ortogonali. Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. Funzioni di distribuzione e di densità di probabilità condizionata.
Funzione di due variabili aleatorie: caratterizzazione statistica di Z = g(X,Y). Esempi: somma, rapporto, massimo. Due funzioni di due variabili aleatorie. Esempio: modulo e fase di variabili aleatorie complesse. Variabili aleatorie n-dimensionali. Legge dei grandi numeri. Teorema del limite centrale.
Processi aleatori
Concetto di segnale. Definizione di processo aleatorio. Statistiche di ordine n: funzioni di distribuzione di probabilità, funzioni di densità di probabilità. Momenti di processo aleatorio: media, autocorrelazione, potenza, autocovarianza, varianza. Processi aleatori stazionari in senso stretto e in senso lato. Cenni su processi ciclostazionari.
Esempi: processi aleatori gaussiani, processi armonici. Transito di processi aleatori in sistemi istantanei. Coppie di processi aleatori: indipendenza, incorrelatezza, ortogonalità. Somma e prodotto di processi aleatori.

PREREQUISITI
Analisi matematica I (obbligatorio), Analisi matematica II, Geometria, Fisica generale I (raccomandati).

TESTI CONSIGLIATI
- S. Benedetto, E. Biglieri, Teoria della Probabilità e Variabili Casuali, Boringhieri, 1980.
- M. Luise, G. M. Vitetta, Teoria dei Segnali, 2a edizione, McGraw-Hill, 2003.

MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO
La verifica consiste in una prova scritta della durata di 120 minuti e in una prova orale della durata di 40 minuti circa.

NOTA IMPORTANTE
A partire dall’A.A. 2008/2009, gli insegnamenti del primo anno non sono più attivi. Questo comporta l’assenza di lezioni ufficiali di Teoria dei Fenomeni Aleatori.

APPELLI DI ESAME
Gli appelli si terranno nella sede di Perugia. Per iscriversi all’esame è necessario inviare un'e-mail al docente, indicando una serie di date possibili per lo svolgimento dell'esame. I testi di alcuni compiti di esame sono disponibili al seguente link.

RICEVIMENTO STUDENTI
Il docente è disponibile per consultazioni ogni mercoledì dalle 15:00 alle 17:00. Ulteriori appuntamenti possono essere richiesti contattando il docente tramite telefono (+39 075 585 3932) o e-mail.